Matemáticas YSTP

Problemas de sistemas de ecuaciones resueltos por el método de Gauss

En primer lugar, antes de comenzar a practicar este tipo de problemas debemos tener en cuenta una serie de consejos que nos serán útiles.

Para resolver un problema debemos:

  • Antes de comenzar, realizar una lectura detenida del mismo. Familiarizarnos con el problema es clave antes de empezar.
  • Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problema que se nos plantea, debemos realizar el planteamiento del mismo.
  • Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o un representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema.
  • Para plantear las ecuaciones volveremos al problema y debemos “traducir” el mismo a una expresión algebraica.
  • En este tipo de problemas con más de una incógnita debemos encontrar tantas ecuaciones como incógnitas se nos presenten. Es decir, si tenemos dos incógnitas debemos encontrar dos ecuaciones, si tenemos tres, tres ecuaciones.
  • El siguiente paso es resolver el sistema de ecuaciones.
  • Por .último y muy importante, debemos interpretar la solución.

En este caso los resolveremos por el método de Gauss:
gauss


Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando un total de 7500 euros. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta es de 50 euros y el de un edredón es de 80 euros. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel?

Planteamiento:

Cantidad de almohadas: x
Cantidad de mantas: y
Cantidad de libras edredones: z

 

PRECIO/UNIDAD

Almohadas

16euros

Mantas

50euros

Edredones

80e


Sistema de ecuaciones:

Primera ecuación:

“un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones”

x +y +z =200

Segunda ecuación:

“gastando un total de 7500 euros”

16x+50y+80z=7500

16x+50y+80z=7500

Tercera ecuación: 

“el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones”

x = y+z
x-y-z=0

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.35.18

Resolución por el método de Gauss:

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.35.18

Utilizamos los coeficientes y los términos independientes y realizamos una matriz:

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.36.26

Necesitamos hacer ceros en los números destacados en la matriz anterior.

Primeras transformaciones, deseamos realizar los ceros de la primera columna:

Primer paso, transformar la segunda fila,

  1. Fila uno se mantiene
  2. Transformo la Fila 2: multiplico la primera por 16 y le resto la fila 2.

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.36.47

Segundo paso, transformar la tercera fila,

  1. Fila uno se mantiene.
  2. Transformo la Fila 3: le resto a la fila 1 la fila 3

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.38.20

Así, la matriz resultante sería:

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.38.46

Segundas transformaciones, deseamos realizar el ceros de la segunda columna:

Para ello, sólo utilizamos la segunda y tercera fila:

  1. Fila uno se mantiene.
  2. Fila dos se mantiene.
  3. Transformo la Fila 3: multiplico la fila 3 por 17 y le sumo la fila 2.

17.(0 +2 +2 +200)= 0 +34 +34 +3400

Sumo la fila dos y tres transformadas.

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.39.51

De esta manera, el sistema resulta:

Captura de pantalla 2017-05-31 a las 14.40.21

Siendo la solución:

z=-900/-30=30

Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”:

-34y-64.30=-4300
-34y=-4300+1920
y=-2380/-34=70

 y=+70

 

Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”:

x+70+30=+200

x=+200-70-30

x=100

 

Solución:

Cantidad de almohadas: x=100

Cantidad de mantas: y=70

Cantidad de libras edredones: z=30

 

PRECIO/UNIDAD

Almohadas

16euros
Mantas

50euros

Edredones

80euros


“gastando un total de 7500 euros”

16x+50y+80z=7500

16.(100)+50.(70)+80. (30) = 7500


 

 

Encuentra estos otros dos problemas resueltos en el documento adjunto:

Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas da de ser igual a 264000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras sea la décima parte del dinero en euros.

Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.


Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5 % en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C.

Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta de un producto a, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto al precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco en la segunda oferta el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros.

 


 

 

 

 

Problemas resueltos por el método de Gauss.ystp

 

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Nos vemos en la siguiente clase.

 

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4 comments on “Problemas de sistemas de ecuaciones resueltos por el método de Gauss

  1. sofia gaitan

    Buenas noches quisiera saber si me pueden ayudar con este ejercicio
    un tanque de almacenamiento de agua puede ser llenado por tres tbos a, b y c el tubo a por si solo puede llenar el tanque en una hora. si los tubos a y c se usan juntos el tanque puede ser llenado en 2/3 del tiempo empleado si se ultiliza solo el tubo a; si el b y el cse usan juntos tardan 20 minutos ¿ cuanto tiempo tarda en llenarse el tanque de almacenamiento si se usan los tres tubos?

    Le gusta a 1 persona

    • Hola! Aquí tenemos que tener en cuenta los caudales. Si el caudal es el volumen entre el tiempo y el volumen total lo determinamos como 1. El grifo a tiene un caudal de 1/60 minutos. El grifo a +c = 1/ 40 (porque 2/3 de 60 minutos son 40) Si despejo aquí c me sale que su caudal es 1/ 120 y el caudal de b lo despejo de la última ecuación b+c = 1/ 20 . De este modo, sé que el caudal total es la suma de los tres caudales a+b+c = 1 / tiempo Si sumo y despejo obtengo el resultado 🙂 Un saludo

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  2. Me podrá apoyar con este ejercicio :La empresa AXUS S.A. desea conocer la cantidad de productos A, B y C a producir para maximizar el beneficio, si cada unidad vendida genera en utilidad $150, $210 y $130 por unidad respectivamente. Cada producto pasa por 3 mesas de trabajo, restringiendo la cantidad de unidades producidas debido al tiempo disponible en cada una de ellas. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada mesa y el tiempo total disponible semanalmente (tiempo dado en minutos):

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    • La empresa AXUS S.A. desea conocer la cantidad de productos A, B y C a producir para maximizar el beneficio, si cada unidad vendida genera en utilidad $150, $210 y $130 por unidad respectivamente. Cada producto pasa por 3 mesas de trabajo, restringiendo la cantidad de unidades producidas debido al tiempo disponible en cada una de ellas. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada mesa y el tiempo total disponible semanalmente (tiempo dado en minutos):

      Tiempo requerido Tiempo requerido Tiempo requerido
      Mesa 1 Mesa 1 Mesa 1
      Producto 1 10 12 8
      Producto 2 15 17 9
      Producto 3 7 7 8
      Tiempo total
      disponible por
      mesa 3,300 3,500 2,900

      Se supone que cada unidad producida es vendida automáticamente. Determinar la combinación de productos que maximicen la utilidad para la compañía.
      El modelo de optimización que permite encontrar la combinación óptima de productos que maximicen la utilidad de la compañía es el siguiente:
      Max B = 150X + 210Y + 130Z

      Me gusta

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