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¿Cómo hallamos la ecuación de la parábola?

En la clase de hoy veremos cómo hallar la ecuación de la parábola que pasa por los siguientes puntos A(-1, 1), B (1, 9 )  ,C (-2, 0).

Si sabemos que los puntos A, B y C no están alineados, sabemos que existe por tanto una parábola solamente que pasa por dichos puntos.

¿Cómo hallamos la ecuación de la parábola?

Si conocemos la función general de la forma:

y= a.x2+bx+c

donde a, b y c (a¹0 ) son números, generalmente racionales.

Podemos hacer pasar cada uno de nuestros puntos por ella. De esta manera , obtendremos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a, b y c.

¿Cómo resolvemos este tipo de sistema de ecuaciones?

Para resolver este tipo de sistema de ecuaciones vamos a utilizar, generalmente, el Método de Gauss. De esta manera podremos calcular las soluciones de manera directa y sencilla.

gauss

Procedemos así a resolver el ejemplo propuesto inicialmente:

y= a.x2+bx+c

A(-1, 1), B (1, 9 )  ,C (-2, 0)

En primer lugar, sustituimos el valor de nuestros puntos en la función general:

Empiezo por el punto A:

X= -1 e y = 1

1 = a.(-1)2+b(-1)+c

El punto B:

X= 1 e y = 9

9 = a.(1)2+b(1)+c

El punto C:

X= -2 e y = 0

0 = a.(-2)2+b(-2)+c

De este modo, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Captura de pantalla 2018-04-05 a las 19.40.58

Ahora, procedemos a resolverlo por el Método de Gauss:

Captura de pantalla 2018-04-05 a las 19.41.39

Realizo las siguientes transformaciones:

Fila 1: La Fila 1 la mantengo igual.

Fila 2: La Fila 2 le resto la fila 1

Fila 3: La Fila 3 le resto 4 veces la fila 1.

Captura de pantalla 2018-04-05 a las 19.45.15

 

Fila 1: La Fila 1 la mantengo igual.

Fila 2: La Fila 2 la mantengo igual.

Fila 3: La Fila 3 le resto la fila 2.

 

Captura de pantalla 2018-04-05 a las 19.45.45

 

Tengo las ecuaciones de manera escalonada y puede despejar:

Captura de pantalla 2018-04-05 a las 19.46.15

c= -12/-3= 4

c = 4

b = 8 / 2 = 4

b=4

a -4 +4 = 1

a = 1

Por tanto, mi parábola correspondería con la función:

y= x2+4x+4

 

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Nos vemos en la siguiente clase.

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